FAQ: ケリー基準，効用関数，確実等価物
〜翻訳作業中〜

By Red Taylor. Note the copyright notice at the bottom.
日本語訳 by Twenty-one@geocities.com
原典: FAQ: Kelly Criterion, Utility Functions, and Certainty Equivalent
Since Nov '99

Q0:この「ケリー基準，効用関数，確実等価物」には，どのような質問と答が 用意されているか？

A0: Q0: この「ケリー基準，効用関数，確実等価物」には，どのような質問と答が 用意されているか？

Q1: ベットを最大化するのはなぜ悪いのか？

A1: 賭け金を最大化して，最大の予測される勝ち分(winnings)を得るのが最良とい うのは，一見，自明であるようにみえる．しかし，実際には多くの人にとって は，これは当てはまらない． もし，単純にベットによる利益を最大化することが人生のゴールであれば，少 しでも利益が見込める時には家，車，ボート等を担保にして賭け金を作り，全 ての財産を賭ければよい． つまり，この方法は，勝ち分を最大化することができるが，多くの人にはリス クが大き過ぎるため，実際には使えない．

Q2:ケリー基準，効用関数とは？

A2: ケリー効用関数(Kelly utility function) や他の効用関数 (Utility Functions)は，トータルのリスクを抑えながら，大きな勝ち分 を期待できる最適な賭け金の大きさを計算する方法である．そして，これは経 済的に実証され，数学的に正確である． ケリー基準(Kelly criterion)では，バンクロール自体ではなく，その 増加の対数レートを最大化することを目標とする．つまり，バンクロールの指 数レートの最大化を試みるのである．

一方，多くのシステムでは，バンクロールの大きさに従ってベットするこ とが推奨されている．それらに対してケリー基準は優位な方法である．特にベッ トする回数が増えるたびに，この傾向は強くなる． しかしながら，ケリー効用関数はリスクが大きすぎるという専門家も多く，他 の効用関数が使われることもある．

ケリー基準では，ケリー数(Kelly Number) "k"が1の時の効用関数 (xをバンクロールの大きさとして)をlog(x)とする．また，他のケリー数の時 には他の効用関数が用いられる．例えばk=0.3の時の関数は，x^(1-1/k) / (1-1/k)である．これらの効用関数は，特定の条件の価値を評価するのに有効 である．この価値のことを， 確実等価物 (Certainty Equivalent)と呼び，これにより異なったベティングやベティ ング戦略の比較が可能になる．

Q3: 確実等価物とは？

A3: 例えば，キャンペーン等で，平均利益が$20で賭け金が$200のコイントスと， 無リスクで$5が得られる方法が選択できる場合，あなたは，どちらを選ぶであ ろう．また，無リスクで得られる額が$10の場合，$15の場合だと，どうするで あろう． 確実等価物（無リスクで得られる等価物，以降はCEと記述）とは，この時に， あなたが価値があると思うベット額の事である．さて，$5，$10，$15のどれで あろうか？

ケリー数0.3に対するケリー基準は，k=0.3，x=ベット結果が出た後のバンク ロールとしてu(x) = x^(1-1/k) / (1-1/k)を最大化するように賭けることを 推奨する．例えば，バンクロールが$10,000で，$200賭けるとすると，平均 u(x)は

55% * u(10200) + 45% * u(9800) = ある値
また，無リスクの額がCEの時の平均u(x)は
100% * u(10000 + CE) = ある値
となる． これら二つは，CEが$13.38の時に等しくなる．これが，ケリー数が0.3で， バンクロールが$10,000の時のケリー基準による確実等価物である． この値が，賭けに参加するかどうかの基準となる．

Q4: 確実等価物値を実際のプレイでどう使うか？

A4: 対数と指数を使うため，ブラックジャックのような複雑なゲームを解析するた めの計算は煩雑になる． ここで，確実等価物のための近似計算式は次のものになる．これにより，アド バンテージが10%以下の場合は非常に良い近似値が得られる．
CE = E - V/2kB
k=1.0のときのケリー基準では効用関数はlog(x)となるが，この式によりかな り正確に近似することができる． また，kが1以外の時，近似する効用関数は，x^(1-1/k) / (1-1/k)である．

$200のコイントスの場合は，E=$20，V=$3960(標準偏差は$198.997)であり，こ の式によりCE=$13.40となる．これは前の計算より導き出した$13.38に非常に 近い値である．

Q5: 最適なベットサイズとは？

A5: CEは，異なったベット方法を比較する手段となりえる．つまり，最も大きいCE をベット方法が最良の方法である．ここで，CEがマイナスの時にはベットしな い事が望ましい．典型的なブラックジャックのルールを考えると，勝ち分の期 待値は，平均アドバンテージ"a"にベット額を掛けた物であり，分散はベット 値の平方にある値"u"を掛けたものである．従って，CEを最大化するには，次 の関数を最大化することになる．
CE = ba - (b^2)u / 2kB
これを最大にするbを計算すると次のものなる．
b = akB / u
"a"がプラスであれば，簡単な計算により，最適なベットサイズの倍以上賭けるとCE はマイナスになることが分かり，これは避けるべきベット方法である． そして，"a"がマイナスであれば，出来るだけ小さな額をかけるべきである． また，注意点としてCEは正確に期待できる勝ち分(E)の半分になる．ここからは， これの詳細について議論する．

ラスベガスのストリップにおける典型的なシュー（マルチデック)ゲームで，1 スポット(ボックス)でプレイする時を考える．この時の"u"は約5/4，"a"は 0.6% * (t - 0.4)となる．ここで"t"はhi-loのトゥルーカウント値である．そ のため，(k=0.3)に対する最適なベット値は，次に示す値となる．

b = 0.144% B * (t - 0.4)
この場合，Bの0.144%，またはB/700をユニットと呼ぶ．そして，t=0.4の時に はベットせず，t=1.4のときに1ユニット，t=2.4のときに2ユニット...と賭け るのが最適なベット方法となる．

Q6: 最高のブラックジャックのルールやカモフラージュとは？

A6: 常に最適なベットをすることは不可能である．カウント値（つまりは，アドバ ンテージ）がマイナスの時もあるし，ミスやカモフラージュのために，最適な 方法より少しずれたベットをすることもある． また，ルールやテーブルリミットはカジノやテーブルによって変る． つまり，効用理論を使うためには，ルールと同じようにプレイの仕方やミスを シミュレーションの中に含める必要がある． 百万以上のシュー(再シャッフルするまでのゲームの続き)をシミュレーション し，あるシューに対する平均勝利レート(E)や，分散(V)を計算する．ここで， k = 0.3，B = バンクロールとすると，シューに対する確実等価物は次の 物になる．
CE = E - V/2kB
望むだけのカモフラージュを行いながら，シューに対するCEを最大化するルー ルやベットスタイルを選択する． また，シューによって戦略が変る時，シュー以外のシミュレーションを行なう ことが出来る．例えば，週末の間のプレイを百万回シミュレーションすること も可能であり，それぞれの制限(Constraints)のもとでの，週末単位での最適 なCEを生み出す全体的な戦略を選択可能である．

もし，計算したCEが期待される勝ち分Eの半分より小さい場合は，分散値が大 きすぎるのである．この場合，リスクが大きすぎるので，ベット値を小さくす べきである．逆に，CEがE/2より大きい場合は，分散値が低すぎる．つまり， もっと大きなリスク(大きなベット)を取るべきである．ベットユニットを適切 に調整するには，次の値が重要である．

r = kBE / V.
最適にベットするには，この値rの倍数をベットユニットとすべきである．

Q7: 課税がベット値に影響を与えるか？

A7: 課税が無視できない状況では，CEに対する影響を考慮しなければならない．例 えば,政府が，勝ち分に所得税を課し，負け分に対して払い戻す場合(特に，そ れぞれが，かなり大きい場合)は，平均勝ち分と分散は小さくなる． もし，負け分を所得税から控除可能であれば(米国では，たとえプロとして生 計を立てていても，控除を行なうことは難しい)，最低課税率を"t"とすると， 課税による影響は，期待勝ち分Eを(1-t)倍，分散Vを(1-t)^2倍するという形で 現れる． そして，適切なベットユニットは元のユニットの1/(1-t)倍というのが最終的 な影響となる．直感的には，全てのベットの1/tは，自分のためにではなく， 政府のためにベットしていることになる．そのため，自分の取り分を適切な値 にするために，ベットを大きくしなければならない．

所得税に対してギャンブルに関する負け分の合計を控除出来ないならば， この事をベット額の計算の時に考慮しなければならない． このためには，シミュレーションや近似に，Gaussian bell曲線 の部分積分が必要となる． また，カードカウンティングの一年を通した価値における結果(例えば利益）の分布 がどうなるかを測定しなければならない． それらの生の値を平均化し，その分散を求める代わりに，全ての勝ち分から課 税の影響を最初から引くことが必要である．そして，全ての値(全ての損失と， 調整した利益)の平均と分散を計算し，その結果をCEの計算式に適用する．

Q8: バンクロールの大きさとは？

A8: この質問に対する答はブラックジャック以外にも有用である． ある人にとってのバンクロールとは，証券投資や，家の購入，そして，ブ ラックジャック等全ての試みに対するバンクロールである． 従って，バンクロールをそれぞれの投資に分割すべきではなく，どのような潜 在的な投資に対しても，この一つの値を使うべきである． また，このバンクロールが大きすぎると思えるなら，「最適な ケリー数とは？」の答を参照されたい．

効用理論の純粋論者によれば，バンクロールとは剰余資産に総収入(生活のた めの常識的な費用を差引く)を足した物である． ここで，剰余資産とは全ての資産から十分に快適な生活を送るのに必要な分を 差引いたものである．また，生活のための費用を差引いた総収入とは，「快適な生 活を維持しながら，どれだけの付加的な負債を追うことが可能か」という問い に対する答である．

ノート：

資産や負債を過剰に見積もってはならない． 例えば，預金額(特に定期預金)が$10,000あったとしたら，それ自体を資産と してバンクロールに含めるか，あるいは，それから生まれる利子を総収入(そ の中から負債の返済等を行なう）に含める．ここで注意しなければならないの は,必ず，どちらかを選ぶ事である． また，預金額が$10,000あるならば，$10,000を負債として持っていても，その 負債は清算可能であり，負債の中に含めてはならない． 借金の場合は，その金額を資産から差引くか，借金の返済額を生活費の中に含 める．これも前の例と同様に片方だけを選ばなければならない．

家に対して抵当が付いている場合，その家を剰余資産として計算しないのは当 然である．しかも，その家が快適な生活を行なうのに必要でああるならば，そ の借金分を資産か収入から差引かねばならない．

利子収入があるが，給料自体では生活を賄えない場合は，バンクロールから快 適な生活を送るのに必要な利子収入額を差引く必要がある．

Q9: 最適なケリー数とは？

A9: ケリー数"k"が大きくなると，勝ち越すチャンスは少なくなる．しかし，その 分大きな勝ち分を得られる可能性がある．小さなケリー数では，逆に，勝ち越 すチャンスは多くなるが，勝ち分は平均的に小さくなる．

最適な小さなベットを行い（つまり，アドバンテージが10%未満)，バンクロー ルの半分を失うか，バンクロールが倍になるまで，プレイする場合を考える．

Kelly率 失敗 CE倍増時間
100% 33.33% 1,900
80% 26.12% 2,300
60% 16.56% 3,100
50% 11.11% 3,700
40% 5.88% 4,700
30% 1.93% 6,200
20% 0.19% 9,300
10% 0.0002% 18,600
ここで示される数値は，私がシューゲームに対して実際に使ってきた戦略を構 成するものであり，かなり保守的な値である．また，シングルデックの場合は， いくつかの制限（ベット幅を大きくする，カモフラージュを抑える，この表の 10倍の時間が必要）が付くが，この表を使う事が可能である． これらの数値はいろいろなケリー数を相互に比較するのに有効である．なぜな ら，バンクロールの半分を失う高い可能性を望む者は少なく，大抵は，1.0よ りかなり小さいケリー数を選ぶ．

FAQ8で与えられる実際のバンクロールより小さな値を使い， その代わりにケリー数を1とするより，次のような代案を使うべきである． 効用理論の純粋論者によると，リスクを小さくするには，バンクロールはFAQ8で与えられる値を使って，ケリー数を1よりも小さな値に する方が良い． つまり，ケリー数を1として使おうと思っている減額したバンクロールを使っ た時の結果と同じ結果を示す， 適切なバンクロールとケリー数を選ぶべきである． この方が，効用理論に従っており，長期的には頭を悩ませずにすむ．

私の知っているプロフェッショナルたちはkを0.3としている．

Q10: 効用理論に関してもっと学ぶには？

A10: このFAQは他のプロフェッショナルなブラックジャックのカードカウンターと の議論やコンピュータによる計算により生まれた．Kellyのオリジナル論文(リ ストを参照)では，Kelly数が1の時の理論的な議論を行なっている．また， 次の論文では，kが1以外の時の効用理論に関する議論を行なっている．

ここでは，1991年にrec.gamblingにポストされた物に若干の変更を加えたもの である．

rec.gamblingにおいて，「ある有利な状況における，最適な賭け金の大きさと は？」という質問に対する教育的な議論を行ないたいと思っている．

そのための第一歩として，ケリー基準に関する文献リストを添付する． 同時に，このような文献の検索にはMichael Daltonの"Blackjack: A Professional Reference"（この本自体にはまだまだ改良の余地があるが）を強くお勧めする． また，この本では基本的なブラックジャックの辞書もついている．残念ながら， ケリー基準の定義は単純化しすぎており，私たちの要求を満たす物ではない．

私は，これら文献を全て持っていないが，読者の中には私の持っていない文献 を持っている人がいれば，要約をポストして欲しい．

それぞれの項目には，文献を上げるにあったっての情報源を｛｝の中に示してい る．情報源が私の場合は{Me}と記述している．

Q11: このFAQへ貢献するには？

A11: コメントや貢献をRedTaylor(an80560@anon.penet.fi)まで送ればよい．

(日本語訳に関しては twenty-one@geocities.com)．

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